Id. Bókai János fia, szintén gyermekgyógyász, egyetemi tanár. 1880-ban doktorál. 1883-tól a Stefánia Gyermekkórház főorvosa. 1885-től a gyermekgyógyászat magántanára, 1892-től rendkívüli tanára, majd 1907-től, a tanszék megszervezésétől betöltött 70 éves kor utáni nyugdíjazásáig, 1929-ig nyilvános rendes tanár a budapesti Pázmány Péter Egyetemen. 1923-tól a Magyar Tudományos Akadémia levelező tagja. Működése idején 1916-ban lett a gyermekgyógyászat kötelező szigorlati tantárgy. Magyarországon a gyermekek rettegett betegsége volt a diftéria vagy torokgyík, amely az evangélikus író, Mikszáth Kálmán fiacskáját, Jánost is elvitte. Bókay vezette hazánkban ennek inkubációs kezelését, majd szérumgyógyítását, és nemzetközi felkérésre klinikailag ellenőrizte a Behring-féle diftériaellenes gyógysavó oltás hatását. Mint a gyermekgyógyászat nemzetközileg elismert művelője tagja volt a Jahrbuch für Kinderheilkunde című lap négytagú szerkesztőbizottságának. A Deutsche Gesellschaft für Kinderheilkunde 38. összejövetelét az ő tiszteletére 70. születésnapja alkalmából Budapesten rendezték meg. A nemzetközi és a magyar gyermekgyógyászat szempontjából az a legnagyobb érdeme, hogy az ő munkássága nagyban hozzájárult ahhoz, hogy a gyermekorvostan tartalmilag az újszülött kortól a serdülőkorig azok belgyógyászati, sebészeti területeit is felöleljék. Állást foglalt a vörheny kezelésében új irányt jelentő eljárás mellett. Sokoldalú munkásságából kiemelkedik a herpes zoster (övsömör) és a varicella (bárányhimlő) közti kóroktani összefüggés kimutatása. Közreműködött a poliomyelitis (Heine-Medin-kór, gyermekbénulás) kórtanának tisztázásában. Jelentős munkásságot fejtett ki a gyermekek kórházi ellátásának megszervezése terén. Fontos szerepet töltött be a társadalmi csecsemővédelemben. 1912-ben megjelent műve A gyermekorvoslás tankönyve, mely 1920-ban Bókay Zoltánnal és Flesch Árminnal, mint társszerzőkkel átdolgozva újra megjelent. Tankönyvét évtizedekig használták. Könyve német fordításban is megjelent. Bókay írta le a hazánkban talált 6-7 cm magas bronzkori agyag szopóedényeket.

Aktív muzsikus és zeneszerző volt. Mozart halálának oka címen tanulmányt írt, foglalkozott Beethoven fülbajával, a világ legnagyobb muzsikusainak koponyájával stb.

 Elnöke volt annak a bizottságnak, amely az amerikai gyermeksegélyező akciót Magyarországon az első világháború után irányította. Állandó résztvevője volt a külföldi tudományos kongresszusoknak is, sok tudományos társaság választotta levelező vagy tiszteletbeli tagjává.